Python数学建模：线性规划求解方法与PuLP库实战指南

一、求解方法、算法和编程方案

线性规划（Linear Programming，LP）通常是数学建模培训中引入的第一个核心算法。虽然其基础概念看似简单，但背后蕴含的数学思想却十分深刻。

线性规划问题早在中学数学阶段便已出现，例如经典的“鸡兔同笼”问题本质上就是一个线性规划案例。在高考数学中，这类题目频繁出现，形式包括直接给出线性约束条件求目标函数极值、间接给出约束条件求极值，以及已知约束条件求解非线性目标函数的极值问题。

因此，在各类数学建模问题和算法体系中，线性规划属于相对基础且简单的范畴。接下来，我们将通过这一熟悉且相对简单的问题，深入剖析数学建模问题的处理方法、算法逻辑及学习路径，探讨那些容易混淆的概念，从而帮助读者更好地理解本系列教程的初衷与特色。

1.1、线性规划问题的求解方法

解决线性规划问题存在多种数学途径，主要包括以下几种：

• 图解法：这是一种通过几何作图寻找最优解的方法，在中学阶段已有涉及，在经济学研究领域应用广泛；
• 矩阵法：通过引入松弛变量将线性规划问题转化为增广矩阵形式，进而进行逐步求解，这是单纯形法出现前的典型处理方式；
• 单纯形法：该方法利用多面体在可行域内逐步构造新顶点以逼近最优解，被视为线性规划研究的里程碑，至今仍是该领域最重要的求解方法之一；
• 内点法：通过选取可行域内部的点，沿下降方向不断迭代以逼近最优解，目前在理论上被认为是求解线性规划问题的最佳方法；
• 启发式方法：基于经验准则通过不断迭代改进来搜索最优解，常见的包括贪心法、模拟退火算法、遗传算法以及神经网络等。

尽管不同的求解方法都旨在解决线性规划问题，最终结果殊途同归，但它们在核心思想上存在本质区别，导致具体的求解步骤和策略截然不同。

毫不夸张地说，对于许多初学者而言，是否学习过单纯形法，对其后续学习启发式方法几乎没有影响。

这揭示了什么？这意味着对于非数学专业的学生，或者旨在参加数学建模竞赛的学习者来说，针对每一类问题，完全没有必要掌握所有的解决方法。即便是数学专业的学生，在数学建模的学习周期内也不可能学会所有方法。

对于初学者，本文推荐选择较为通用且相对简单（思路清晰、代码简洁）的方法进行学习，无需盲目追求数量或新奇性。

1.2、线性规划的最快算法

那么，算法与方法有何不同？

算法被定义为“解题方案的准确而完整的描述”，是一系列清晰的问题解决指令，代表了用系统化方法描述解决问题策略的机制。

我对“方法”的理解偏向于思想层面的总体框架，而“算法”则是具体且明确的实现步骤，在计算机编程中相当于详细的流程图。

在提出每种方法的基本思想和方案后，往往会出现许多变形、改进和发展的算法。极少数经过改进的算法具有实质性贡献并成为主流经典算法，即便如此，它们通常也仅带来性能或效率上的提升，对解决数学建模竞赛中的问题影响不大。

而绝大多数改进算法仅针对某些特殊情况或特定问题（自称）有效，常被用于大量发表学术论文。对于数学建模而言，学习基本算法或当前经典算法已足够，无需轻信那些自称具有优势的改进算法，那往往类似于“莆田系”广告般的夸大宣传。

存在一种例外情况，即某些算法具有特定的适用范围和限制条件。例如，内点法的基本算法无法处理等式约束，最短路径问题中的Dijkstra算法不能处理负权边。在这种情况下，如果选错算法，问题将无法求解。因此，对我们而言，明确算法的适用范围比深入理解算法本身更为重要。

回到本节标题，对于线性规划问题，什么算法是最快的呢？答案是：猜。并非让你随意猜测，而是指在求解线性规划问题时，“猜”起来可能比较快。这并非玩笑，而是严肃的观点。

佐治亚理工学院的彭泱教授在2021年计算机理论顶级会议SODA 2021上获得最佳论文奖（Best paper award at ACM-SIAM symposium on discrete algorithms 2021），其研究正是关于线性规划问题的求解——“Solving sparse linear systems faster than matrix multiplication”。其所采用的全新思路是：猜，反复猜，迭代猜。

当然，“猜起来比较快”仅在特定特殊条件下有效。至于在什么条件下猜、如何猜，这并非我们所能理解或需要关心的重点。此处举例旨在说明，简单的问题背后也可能存在复杂情况，每个问题都有多种求解思路、方法和算法。

1.3、选择适合自己的编程方案

“编程方案”是我杜撰的一个术语。我想表达的意思是，在选择了求解方法和算法之后，是依据算法步骤一步步自行编程实现，还是寻找例程进行调试使用，亦或是调用第三方工具包/库函数来完成？

首先，对于学习数学建模或参加数模竞赛而言，不建议按照算法步骤自行编程。我们在《01.新手必读》中讨论过此问题：对于既是数学小白又是计算机小白的学习者来说，这样做既不可行也无必要；即使你愿意挑战自我尝试，那实际上已经是在学习另一门计算机或算法课程的路上了。

其次，是否应该寻找例程自行调试和使用？许多数学建模培训正是如此宣传并操作的，甚至将这些收集的例程视为核心机密以吸引学员。我不反对这种做法，这种学习方法有助于理解算法和提高编程能力；但我不推荐这样做，原因如下：

（1）我认为学习数学建模、参加数模竞赛的重点应放在识别问题、分析问题和解决问题上，只要能使用算法和编程即可；

（2）第三方库与例程没有本质区别，第三方库就是经典的、规范的、标准化的例程。既然选择使用例程，为何不选择优秀的例程——即第三方库呢？

（3）大部分自行编写的例程存在诸多问题，即使调试通过仍有许多难以识别的陷阱，尤其是对于新手而言。

因此，我明确推荐优先直接使用第三方库来解决问题，这也符合Python语言“不要重复造轮子”的核心思想。

进一步地，许多工具包/库函数都能实现常用算法，应如何选择呢？

如果你对某个工具包非常熟悉，且能实现所需算法，这当然是理想的选择。如果你是初学者，请跟随我的建议。

本系列选择第三方工具包的原则如下：

（1）优先选择常用的工具包；

（2）优先选择具备通用功能的工具包和函数（例如，最好既能实现线性规划，又能实现整数规划、非线性规划）；

（3）优先选择安装简单、使用便捷、配置灵活的工具包；

（4）优先选择兼具模型检验和图形绘制功能的工具包。

二、PuLP库求解线性规划问题

2.1、线性规划问题的描述

线性规划旨在研究在线性等式或不等式约束条件下，求解线性目标函数的极值问题，常用于解决资源分配、生产调度和混合配比等问题。

一般线性规划问题的标准形式如下：

满足所有约束条件的解，称为线性规划问题的可行解；所有可行解构成的集合，称为可行域。

使目标函数达到最小值的解，称为最优解。

线性规划问题的建模和求解，通常遵循以下步骤：

• 问题定义：确定决策变量、目标函数和约束条件；
• 模型构建：根据问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
• 模型求解：使用标准模型的优化算法对模型进行求解，得到优化结果。

许多Python第三方包都提供了求解线性规划问题的算法，部分工具包还提供整数规划、非线性规划的算法。例如：

• Scipy库提供了解简单线性或非线性规划问题的功能，但不能求解如背包问题的0-1规划问题，或整数规划、混合整数规划问题。
• PuLP可以求解线性规划、整数规划、0-1规划、混合整数规划问题，并提供多种针对不同类型问题的求解器。
• Cvxpy是一种凸优化工具包，可以求解线性规划、整数规划、0-1规划、混合整数规划、二次规划和几何规划问题。

此外，SKlearn、DOcplex、Pymprog等许多第三方工具包也能求解线性规划问题。

2.2、PuLP 求解线性规划问题的步骤

例题 1：

下面以该题为例讲解 PuLP 求解线性规划问题的步骤：

（0）导入 PuLP库函数

import pulp

（1）定义一个规划问题

MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)

pulp.LpProblem 是定义问题的构造函数。

"LPProbDemo1"是用户定义的问题名（用于输出信息）。

参数 sense 用来指定求最小值/最大值问题，可选参数值：LpMinimize、LpMaximize 。本例 “sense=pulp.LpMaximize” 表示求目标函数的最大值。

（2）定义决策变量

x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous')
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 

pulp.LpVariable 是定义决策变量的函数。 'x1' 是用户定义的变量名。

参数 lowBound、upBound 用来设定决策变量的下界、上界；可以不定义下界/上界，默认的下界/上界是负无穷/正无穷。本例中 x1,x2,x3 的取值区间为 [0,7]。

参数 cat 用来设定变量类型，可选参数值：'Continuous' 表示连续变量（默认值）、' Integer ' 表示离散变量（用于整数规划问题）、' Binary ' 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。

（3）添加目标函数

MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 设置目标函数

添加目标函数使用 "问题名 += 目标函数式" 格式。

（4）添加约束条件

MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式约束

添加约束条件使用 "问题名 += 约束条件表达式" 格式。

约束条件可以是等式约束或不等式约束，不等式约束可以是 小于等于 或 大于等于，分别使用关键字">="、"<="和"=="。

（5）求解

MyProbLP.solve()
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #输出最优解的目标函数值   

solve() 是求解函数。PuLP默认采用 CBC 求解器来求解优化问题，也可以调用其它的优化器来求解，如：GLPK，COIN CLP/CBC，CPLEX，和GUROBI，但需要另外安装。

2.3、Python例程：线性规划问题

例程 1：求解线性规划问题

import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)  # 求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
x3 = pulp.LpVariable('x3', lowBound=0, upBound=7, cat='Continuous') 
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  	# 设置目标函数
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式约束
MyProbLP.solve()  # youcans@xupt
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
for v in MyProbLP.variables():  # youcans
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("Max F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #输出最优解的目标函数值

例程 1 运行结果：

Welcome to the CBC MILP Solver

Version: 2.9.0

Build Date: Feb 12 2015

Status: Optimal

x1 = 6.4285714

x2 = 0.57142857

x3 = 0.0

Max F(x) = 14.57142851

例程01 程序说明：

• 用 PuLP 库求解线性规划问题，可以选择求最大值或最小值，可以按照问题的数学描述，直接输入目标函数、等式约束和不等式约束，不等式约束可以选择 <= 或 >=，不需要进行转换。这中方式简单直观，非常适合初学者掌握。
• 对于较大规模线性规划问题， PuLP 库支持用字典类型（dict）建立多个变量，设置目标函数和约束条件。

三、小结

求解线性规划问题的方法非常简单，本文实际上并未讲解具体的算法。

希望通过对求解方法、算法和编程方案的讲解，阐明作者对于数学建模学什么、怎么学的理解，也使读者能了解本系列教程的特点：本教程不打算详细讲解各种算法的具体方法，重点介绍如何使用第三方包实现算法、解决问题。

以上就是浅谈Python数学建模之线性规划的详细内容，更多关于Python 线性规划的资料请关注本站其它相关文章！