Python数据拟合实现最小二乘法示例解析

程一诺

发布时间：2026-10-14 | 5人浏览过

原创

本文详解Python中利用最小二乘法进行数据拟合的多种场景。涵盖线性拟合、高阶多项式拟合及指数函数拟合的实现原理与代码示例，通过具体案例展示如何构建误差方程组并求解参数，帮助开发者掌握核心算法逻辑。

最小二乘法的核心思想是通过数据拟合，使拟合值与样本观测值之间的方差达到最小。

线性拟合

该数学表达式结构相对简洁。

在实际应用中，若选取自然序列作为自变量，在计算自变量取值时可借助初等数学推论。对于区间 [ m , n ] 内的自然序列，存在如下关系：


#文件名core.py
import numpy as np
def leastSquare(x,y):
    if len(x)==2:
    #此时x为自然序列
        sx = 0.5*(x[1]-x[0]+1)*(x[1]+x[0])
        ex = sx/(x[1]-x[0]+1)
        sx2 = ((x[1]*(x[1]+1)*(2*x[1]+1))
              -(x[0]*(x[0]-1)*(2*x[0]-1)))/6
        x = np.array(range(x[0],x[1]+1))
    else:
        sx = sum(x)
        ex = sx/len(x)
        sx2 = sum(x**2)    
    sxy = sum(x*y)
    ey = np.mean(y)
    a = (sxy-ey*sx)/(sx2-ex*sx)
    b = (ey*sx2-sxy*ex)/(sx2-ex*sx)
    return a,b

进行功能测试。


>>> x = np.arange(25)
>>> y = x*15+20+np.random.randn(len(x))*5	#randn生成正态分布噪声
>>> a,b = core.leastSquare(x,y)				
>>> plt.scatter(x,y)						#原始数据散点图
<matplotlib.collections.PathCollection object at 0x00000218DEBBEDC8>
>>> plt.plot(x,a*x+b)						#拟合直线
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000218E0314FC8>]
>>> plt.show()

最终获得拟合结果。

高阶多项式

与前文逻辑一致，此处约定相关参数定义。

具体实现代码如下。


#传入参数格式为np.array,n为阶数
def leastSquareMulti(x,y,n):
    X = [np.sum(x**i) for i in range(2*n+1)]
    Y = np.array([[np.sum(y*x**i)] for i in range(n+1)])
    S = np.array([X[i:i+n+1] for i in range(n+1)])
    return np.linalg.solve(S,Y)		#

经测试，运行结果如下所示。


>>> x = np.arange(25)
>>> y = x**3+3*x**2+2*x+12
>>> import core
>>> core.leastSquareMulti(x,y,3)
array([[12.],		#此为常数项
       [ 2.],
       [ 3.],
       [ 1.]])

多自变量场景

针对给定的样本数据。

相应的误差方程组可表示为以下形式。

指数函数拟合

对应的代码实现如下。


def expFit(x,y):
    y0 = y[0:-3]
    y1 = y[1:-2]
    y2 = y[2:-1]
    B,C = leastSquare(y2/y0,y1/y0)
    b1 = np.log((B-np.sqrt(B**2+4*C))/2)
    b2 = np.log((B+np.sqrt(B**2+4*C))/2)
    X = np.exp(b1-b2)*x
    Y = y/np.exp(b2*x)
    a1,a2 = leastSquare(X,Y)
    return a1,a2,b1,b2

以上即为Python利用最小二乘法进行数据拟合的完整示例解析，更多Python实现最小二乘法的相关资料，敬请留意本站后续发布的文章。