Python实现共轭梯度法与最速下降法对比及高精度平方根算法
本文对比了Python中三种优化算法：最速下降法、FR格式与PRP格式共轭梯度法。通过64维二次函数验证，结果显示共轭梯度法在迭代效率上显著优于最速下降法。此外，文章还分享了利用Python大整数特性，结合牛顿迭代法与二分法实现高精度（小数点后任意位）平方根计算的具体代码与原理。
在常规优化问题中，最速下降法和共轭梯度法均属于经典且实用的算法。然而，最速下降法通常呈现“之”字形收敛路径，导致收敛速度较慢，难以快速逼近最优解；相比之下，共轭梯度法表现更佳。此前文章曾对比牛顿法与最速下降法，指出牛顿法对初值点位置要求苛刻，需位于最优值附近方可有效工作。
算法参考来源：《数值最优化方法》，作者高立，第111页。
验证函数选用了一个64维的二次函数，具体细节可参考上述书籍第111页。
本实验采用的三种算法分别为：
1. 共轭梯度法（FR格式）；2. 共轭梯度法（PRP格式）；3. 最速下降法。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Oct 01 15:01:54 2016
@author: zhangweiguo
"""
import sympy,numpy
import math
import matplotlib.pyplot as pl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D as ax3
import SD#这个文件里有最速下降法SD的方法，参见前面的博客
#共轭梯度法FR、PRP两种格式
def CG_FR(x0,N,E,f,f_d):
X=x0;Y=[];Y_d=[];
n = 1
ee = f_d(x0)
e=(ee[0]**2+ee[1]**2)**0.5
d=-f_d(x0)
Y.append(f(x0)[0,0]);Y_d.append(e)
a=sympy.Symbol('a',real=True)
print '第%2s次迭代：e=%f' % (n, e)
while n<N and e>E:
n=n+1
g1=f_d(x0)
f1=f(x0+a*f_d(x0))
a0=sympy.solve(sympy.diff(f1[0,0],a,1))
x0=x0-d*a0
X=numpy.c_[X,x0];Y.append(f(x0)[0,0])
ee = f_d(x0)
e = math.pow(math.pow(ee[0,0],2)+math.pow(ee[1,0],2),0.5)
Y_d.append(e)
g2=f_d(x0)
beta=(numpy.dot(g2.T,g2))/numpy.dot(g1.T,g1)
d=-f_d(x0)+beta*d
print '第%2s次迭代：e=%f'%(n,e)
return X,Y,Y_d
def CG_PRP(x0,N,E,f,f_d):
X=x0;Y=[];Y_d=[];
n = 1
ee = f_d(x0)
e=(ee[0]**2+ee[1]**2)**0.5
d=-f_d(x0)
Y.append(f(x0)[0,0]);Y_d.append(e)
a=sympy.Symbol('a',real=True)
print '第%2s次迭代：e=%f' % (n, e)
while n<N and e>E:
n=n+1
g1=f_d(x0)
f1=f(x0+a*f_d(x0))
a0=sympy.solve(sympy.diff(f1[0,0],a,1))
x0=x0-d*a0
X=numpy.c_[X,x0];Y.append(f(x0)[0,0])
ee = f_d(x0)
e = math.pow(math.pow(ee[0,0],2)+math.pow(ee[1,0],2),0.5)
Y_d.append(e)
g2=f_d(x0)
beta=(numpy.dot(g2.T,g2-g1))/numpy.dot(g1.T,g1)
d=-f_d(x0)+beta*d
print '第%2s次迭代：e=%f'%(n,e)
return X,Y,Y_d
if __name__=='__main__':
'''
G=numpy.array([[21.0,4.0],[4.0,15.0]])
#G=numpy.array([[21.0,4.0],[4.0,1.0]])
b=numpy.array([[2.0],[3.0]])
c=10.0
x0=numpy.array([[-10.0],[100.0]])
'''
m=4
T=6*numpy.eye(m)
T[0,1]=-1;T[m-1,m-2]=-1
for i in xrange(1,m-1):
T[i,i+1]=-1
T[i,i-1]=-1
W=numpy.zeros((m**2,m**2))
W[0:m,0:m]=T
W[m**2-m:m**2,m**2-m:m**2]=T
W[0:m,m:2*m]=-numpy.eye(m)
W[m**2-m:m**2,m**2-2*m:m**2-m]=-numpy.eye(m)
for i in xrange(1,m-1):
W[i*m:(i+1)*m,i*m:(i+1)*m]=T
W[i*m:(i+1)*m,i*m+m:(i+1)*m+m]=-numpy.eye(m)
W[i*m:(i+1)*m,i*m-m:(i+1)*m-m]=-numpy.eye(m)
mm=m**2
mmm=m**3
G=numpy.zeros((mmm,mmm))
G[0:mm,0:mm]=W;G[mmm-mm:mmm,mmm-mm:mmm]=W;
G[0:mm,mm:2*mm]=-numpy.eye(mm)
G[mmm-mm:mmm,mmm-2*mm:mmm-mm]=-numpy.eye(mm)
for i in xrange(1,m-1):
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm:(i+1)*mm]=W
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm-mm:(i+1)*mm-mm]=-numpy.eye(mm)
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm+mm:(i+1)*mm+mm]=-numpy.eye(mm)
x_goal=numpy.ones((mmm,1))
b=-numpy.dot(G,x_goal)
c=0
f = lambda x: 0.5 * (numpy.dot(numpy.dot(x.T, G), x)) + numpy.dot(b.T, x) + c
f_d = lambda x: numpy.dot(G, x) + b
x0=x_goal+numpy.random.rand(mmm,1)*100
N=100
E=10**(-6)
print '共轭梯度PR'
X1, Y1, Y_d1=CG_FR(x0,N,E,f,f_d)
print '共轭梯度PBR'
X2, Y2, Y_d2=CG_PRP(x0,N,E,f,f_d)
figure1=pl.figure('trend')
n1=len(Y1)
n2=len(Y2)
x1=numpy.arange(1,n1+1)
x2=numpy.arange(1,n2+1)
X3, Y3, Y_d3=SD.SD(x0,N,E,f,f_d)
n3=len(Y3)
x3=range(1,n3+1)
pl.semilogy(x3,Y3,'g*',markersize=10,label='SD:'+str(n3))
pl.semilogy(x1,Y1,'r*',markersize=10,label='CG-FR:'+str(n1))
pl.semilogy(x2,Y2,'b*',markersize=10,label='CG-PRP:'+str(n2))
pl.legend()
#图像显示了三种不同的方法各自迭代的次数与最优值变化情况，共轭梯度方法是明显优于最速下降法的
pl.xlabel('n')
pl.ylabel('f(x)')
pl.show()
最优值变化趋势分析：
观察相关图表可知，最速下降法（SD）所需的迭代次数最多，在与两种共轭梯度法（FR与PRP）的对比中，其性能明显较差。
补充知识：基于Python实现牛顿迭代法和二分法求平方根，支持精确到小数点后任意多位-4
首先解析牛顿迭代法求平方根的过程，以计算3的平方根为例。
如图所示，展示了求根号3的牛顿迭代过程。初始迭代值（猜测值）设为1，实际上该值可为任意数，最终均能收敛至结果。每次迭代开始时，先检测猜测值的合理性；若不满足条件，则利用上述平均值替换当前猜测值，并继续迭代，直至猜测值符合精度要求。
原理说明：设定一个猜测值a，若猜测合理，则满足a^2=x（即x/a=a，x为被开方数）。若猜测不合理，则取当前猜测值与商（x/a）的平均值作为新的猜测值。当a大于真实值时，x/a小于真实值，此时取a与x/a的平均值替代a，新值将更接近真实值；同理适用于a小于真实值的情况。通过不断迭代，a值逐步收敛至真实值，从而证明迭代法的正确性。
以下是Python实现代码：
利用Python的大整数运算特性，由于整数精度无上限，可实现小数点后任意多位的高精度计算。
#二分法求x的平方根，精确到小数点后K位，基于整数运算 #核心思想：利用二分法，每次将数值乘以10，取中间值并比较大小，从而定位精确值范围。将根扩大10倍，则被开方数相应扩大100倍。 #quotient（商）牛顿迭代法：先猜测一个值，再求商，然后用猜测值和商的中间值代替原猜测值，扩大倍数后继续迭代。
import math
from math import sqrt
def check_precision(l,h,p,len1):#检查是否达到了精确位
l=str(l);h=str(h)
if len(l)<=len1+p or len(h)<=len1+p:
return False
for i in range(len1,p+len1):#检查小数点后面的p个数是否相等
if l[i]!=h[i]: #当l和h某一位不相等时，说明没有达到精确位
return False
return True
def print_result(x,len1,p):
x=str(x)
if len(x)-len1<p:#没有达到要求的精度就已经找出根
s=x[:len1]+"."+x[len1:]+'0'*(p-len(x)+len1)
else:s=x[:len1]+"."+x[len1:len1+p]
print(s)
def binary_sqrt(x,p):
x0=int(sqrt(x))
if x0*x0==x: #完全平方数直接开方，不用继续进行
print_result(x0,len(str(x0)),p)
return
len1=len(str(x0))#找出整数部分的长度
l=0;h=x
while(not check_precision(l,h,p,len1)):#没有达到精确位，继续循环
if not l==0:#第一次l=0，h=x时不用乘以10，直接取中间值
h=h*10 #l,h每次扩大10倍
l=l*10
x=x*100 #x每次要扩大100倍，因为平方
m=(l+h)//2
if m*m==x:
return print_result(m,len1,p)
elif m*m>x:
h=m
else:
l=m
return print_result(l,len1,p)#当达到了要求的精度，直接返回l
#牛顿迭代法求平方根
def newton_sqrt(x,p):
x0=int(sqrt(x))
if x0*x0==x: #完全平方数直接开方，不用继续进行
print_result(x0,len(str(x0)),p)
return
len1=len(str(x0))#找出整数部分的长度
g=1;q=x//g;g=(g+q)//2
while(not check_precision(g,q,p,len1)):
x=x*100
g=g*10
q=x//g #求商
g=(g+q)//2 #更新猜测值为猜测值和商的中间值
return print_result(g,len1,p)
while True:
x=int(input("请输入待开方数："))
p=int(input("请输入精度："))
print("binary_sqrt:",end="")
binary_sqrt(x,p)
print("newton_sqrt:",end="")
newton_sqrt(x,p)
以上即为基于Python共轭梯度法与最速下降法对比的全部内容，以及高精度平方根算法的分享。希望能为读者提供参考，感谢支持。
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