Python回溯法子集树模板解决找零问题：最少硬币方案

江岸

发布时间：2026-10-13 | 2人浏览过

原创

本文介绍利用Python回溯法子集树模板解决找零问题的方法。通过定义面额与数量状态空间，结合剪枝函数优化搜索，实现最少硬币找零方案。文章提供完整代码示例及分析，适用于Python初学者理解回溯算法在组合优化中的应用。

本示例演示如何使用Python中的回溯法子集树模板来求解找零问题，供读者参考学习。

问题描述

现有面额为10元、5元、2元、1元的硬币，数量限制分别为3枚、5枚、7枚和12枚。现需为顾客找零16元，目标是使使用的硬币数量最少；若无法凑出该金额，则判定无解。

问题分析

采用元素与状态空间分析法：将四种不同面额的硬币视为四个独立元素，其各自的可取数量范围构成对应的状态空间。遍历所有可能的状态组合，并通过剪枝函数剔除无效分支。

解向量长度固定为4。

解的编码形式为(x1, x2, x3, x4)，其中x1取值范围为[0, 3]，x2取值范围为[0, 5]，x3取值范围为[0, 7]，x4取值范围为[0, 12]。

由于需要求解最优解（即硬币总数最少），需引入全局变量best_x记录最佳解向量，以及best_num记录最少的硬币数量。

直接套用回溯法子集树模板进行求解。

代码实现

'''找零问题'''
n = 4
a = [10, 5, 2, 1] # 四种面额
b = [3, 5, 7, 12] # 对应的硬币数目（状态空间）
m = 53 # 给定的金额
x = [0]*n  # 一个解（n元0-b[k]数组）
X = []  # 一组解
best_x = [] # 最佳解
best_num = 0 # 最少硬币数目
# 冲突检测
def conflict(k):
  global n,m, x, X, a, b, best_num
  # 部分解的金额已超
  if sum([p*q for p,q in zip(a[:k+1], x[:k+1])]) > m:
    return True
  # 部分解的金额加上剩下的所有金额不够
  if sum([p*q for p,q in zip(a[:k+1], x[:k+1])]) + sum([p*q for p,q in zip(a[k+1:], b[k+1:])]) < m:
    return True
  # 部分解的硬币个数超best_num
  num = sum(x[:k+1])
  if 0 < best_num < num:
    return True
  return False # 无冲突
# 回溯法（递归版本）
def subsets(k): # 到达第k个元素
  global n, a, b, x, X, best_x, best_num
  if k == n: # 超出最尾的元素
    #print(x)
    X.append(x[:]) # 保存（一个解）
    # 计算硬币数目，若最佳，则保存
    num = sum(x)
    if best_num == 0 or best_num > num:
      best_num = num
      best_x = x[:]
  else:
    for i in range(b[k]+1): # 遍历元素 a[k] 的可供选择状态: 0, 1, 2, ..., b[k] 个硬币
      x[k] = i
      if not conflict(k): # 剪枝
        subsets(k+1)
# 测试
subsets(0)
print(best_x)

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