Python实现最速下降法求解极值：含Goldstein线性搜索
本文详细介绍如何使用Python实现最速下降法求解多元函数极小值。重点讲解Goldstein不精确线性搜索步长确定方法，并提供完整的linesearch.py模块及主程序代码。以Rosenbrock函数为例，展示迭代过程、收敛轨迹及运行结果，帮助读者理解梯度下降算法在实际编程中的应用。
最速下降法原理与Goldstein线性搜索
针对多元函数
，采用最速下降法（亦称梯度下降法）求解其极小值时，迭代公式为
式中
代表负梯度方向，即最速下降方向，而αk为搜索步长。
通常情况下，确定最优步长αk需借助线性搜索技术，例如精确线性搜索。然而，实际应用中更常见的是不精确线性搜索，主要包括Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。
为方便调用，我们编写一个名为linesearch.py的Python文件，用于存放线性搜索的子函数。此处仅实现了Goldstein线性搜索函数，关于Goldstein原则的具体细节，可参考最优化相关教材。
线性搜索的具体代码如下（基于Python3.3版本）：
'''
线性搜索子函数
'''
import numpy as np
import random
def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
flag=0
a=0
b=alpham
fk=f(x)
gk=df(x)
phi0=fk
dphi0=np.dot(gk,d)
alpha=b*random.uniform(0,1)
while(flag==0):
newfk=f(x+alpha*d)
phi=newfk
if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
flag=1
else:
a=alpha
b=b
if(b<alpham):
alpha=(a+b)/2
else:
alpha=t*alpha
else:
a=a
b=alpha
alpha=(a+b)/2
return alpha上述函数的输入参数包括多元函数f及其导数df、当前迭代点x和当前搜索方向d，返回值则是依据Goldstein准则确定的搜索步长。
我们继续以Rosenbrock函数为例，其表达式为
由此可得该函数的梯度表达式为
最速下降法的主程序代码如下：
Python代码实现与Rosenbro函数求解
"""
最速下降法
Rosenbrock函数
函数 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch
def rosenbrock(x):
return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2
def jacobian(x):
return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])
X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线
def steepest(x0):
print('初始点为:')
print(x0,'\n')
imax = 20000
W=np.zeros((2,imax))
W[:,0] = x0
i = 1
x = x0
grad = jacobian(x)
delta = sum(grad**2) # 初始误差
while i<imax and delta>10**(-5):
p = -jacobian(x)
x0=x
alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
x = x + alpha*p
W[:,i] = x
grad = jacobian(x)
delta = sum(grad**2)
i=i+1
print("迭代次数为:",i)
print("近似最优解为:")
print(x,'\n')
W=W[:,0:i] # 记录迭代点
return W
x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()为了实现跨文件调用，我们首先使用import语句导入了线性搜索子函数，具体涉及以下两行代码
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch当然，若将定义goldsteinsearch函数的代码直接嵌入主程序，虽可省去导入步骤，但这会导致程序冗长且不利于goldsteinsearch函数的复用。
此外，Python对函数式编程支持良好。在定义goldsteinsearch函数时，可将抽象函数f和df作为输入参数，仅在调用时进行实例化。与Matlab不同，Python在传递函数作为参数时无需使用@符号将其转换为函数句柄。
程序运行结果如下
初始点为:
[-1.2 1. ]
迭代次数为: 1504
近似最优解为:
[ 1.00318532 1.00639618]
迭代点的轨迹为
由于线性搜索子程序中使用了随机函数，且初始搜索点为随机生成，因此每次运行的结果会有所差异。例如，再次运行程序得到的结果为
初始点为:
[-1.2 1. ]
迭代次数为: 1994
近似最优解为:
[ 0.99735222 0.99469882]
对应的迭代轨迹图像为
以上即为使用Python实现最速下降法求极值的完整内容，希望能对读者有所帮助，也欢迎大家继续支持本站。
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