Python实现Axes3D绘制二阶函数极值点与批量梯度下降算法

向北走

发布时间：2026-10-13 | 4人浏览过

原创

本文介绍利用Python的Axes3D库绘制拥有两个自变量的二阶函数图像，并通过批量梯度下降算法寻找并标记其极值点。内容涵盖目标函数定义、偏导数计算、核心迭代代码及可视化实现，为机器学习中的优化算法提供直观示例。

Python批量梯度下降算法与Axes3D可视化实现

本文分享了使用Python实现批量梯度下降算法的具体代码示例，供读者参考学习。

问题定义与解决思路

问题描述：

需要将包含两个自变量的二阶函数映射到三维空间坐标系中，并利用批量梯度下降算法定位并绘制该函数的极值点。

解决思路：

首先，依据题目要求确定目标函数为：f(w1,w2) = w1^2 + w2^2 + 2 w1 w2 + 500。接着，分别对变量w1和w2计算偏导数，并编写主函数以迭代求解极值点。最后，构建三维坐标系，绘制函数曲面及计算得出的极值点位置。

代码实现与结果分析

具体代码实现与运行结果如下所示：


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d.axes3d import Axes3D

#f(w1,w2) = w1^2 + w2^2 + 2*w1*w2 + 500
def targetFunction(W): #目标函数
 w1,w2 = W
 return w1 ** 2 + w2**2 + 2*w1*w2+500

def gradientFunction(W): #梯度函数：分别对w1,w2求偏导
 w1,w2 = W
 w1_grad = 2*w1+2*w2
 w2_grad = 2*w2 + 2*w1
 return np.array([w1_grad,w2_grad])

def batch_gradient_distance(targetFunc,gradientFunc,init_W,learning_rate = 0.01,tolerance = 0.0000001): #核心算法
 W = init_W
 target_value = targetFunc(W)
 counts = 0 #用于计算次数
 while counts<5000:
 gradient = gradientFunc(W)
 next_W = W-gradient*learning_rate
 next_target_value = targetFunc(next_W)
 if abs(next_target_value-target_value) <tolerance:
 print("此结果经过了", counts, "次循环")
 return next_W
 else:
 W,target_value = next_W,next_target_value
 counts += 1
 else:
 print("没有取到极值点")


if __name__ == '__main__':
 np.random.seed(0) #保证每次运行随机出来的结果一致
 init_W = np.array([np.random.random(),np.random.random()]) #随机初始的w1,w2
 w1,w2 = batch_gradient_distance(targetFunction,gradientFunction,init_W)
 print(w1,w2)
 #画图
 x1=np.arange(-10,11,1) #为了绘制函数的原图像
 x2=np.arange(-10,11,1)

 x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2) # meshgrid :3D坐标系

 z=x1**2 + x2**2 + 2*x1*x2+500

 fig = plt.figure()
 ax = Axes3D(fig)
 ax.plot_surface(x1, x2, z) #绘制3D坐标系中的函数图像
 ax.scatter(w1,w2, targetFunction([w1,w2]), s=50, c='red') #绘制已经找到的极值点
 ax.legend() #使坐标系为网格状

 plt.show() #显示

函数曲面及其极值点的可视化效果如图所示，其中红色散点代表通过算法找到的极值点。