Python实现蒙特卡洛模拟法：圆周率、积分与整数规划实例

认真发呆

发布时间：2026-10-15 | 4人浏览过

原创

本文介绍蒙特卡洛模拟法在Python中的实际应用，通过随机抽样解决三类问题：利用单位圆与外接正方形面积比估算圆周率，通过随机点分布估算函数定积分，以及求解满足特定约束条件的整数规划最优解。

1.简介

蒙特卡洛方法，又称随机抽样或统计试验，其核心是通过生成随机变量并代入模型进行计算，从而寻求最优解。只要模拟次数足够多，最终可以找到最优解或接近最优的解。

通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字

2.实例分析

2.1 模拟求近似圆周率

绘制单位圆和外接正方形，正方形ABCD的面积为：2*2=4，圆的面积为：S=Π*1*1=Π，现在模拟产生在正方形ABCD中均匀分布的点n个，如果这n个点中有m个点在该圆内，则圆的面积与正方形ABCD的面积之比可近似为m/n

程序如下：

#模拟求近似圆周率
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#解决图标题中文乱码问题
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
#进入正题
r=random.random()
num=range(0,200000,10)
mypi=np.ones((1,len(num)))
for j in range(len(num)):
    # 投点次数
    n = 10000
    # 圆的半径、圆心
    r = 1.0
    a,b = (0.,0.)
    # 正方形区域
    x_min, x_max = a-r, a+r
    y_min, y_max = b-r, b+r
    # 在正方形区域内随机投点
    x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) #均匀分布
    y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
    #计算点到圆心的距离
    d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)
    #统计落在圆内点的数目
    res = sum(np.where(d < r, 1, 0))
    #计算pi的近似值（Monte Carlo:用统计值去近似真实值）
    mypi[0,j] = 4 * res / n
plt.plot(range(1,len(mypi[0])+1),mypi[0],'.-') 
plt.grid(ls=":",c='b',)#打开坐标网格
plt.axhline(y=np.pi,ls=":",c="yellow")#添加水平直线
# plt.axvline(x=4,ls="-",c="green")#添加垂直直线
plt.legend(['模拟', '实际'], loc='upper right', scatterpoints=1)
plt.title("近似圆周率")
plt.show()

2.2 估算定积分

程序如下：

#估算定积分
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#解决图标题中文乱码问题
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
#进入正题
r=random.random()
num=range(1,10**6,500)
s = np.ones((1,len(num)))
for j in range(len(num)):
    n = 30000
    #矩形边界区域
    x_min, x_max = 0.0, 1.0
    y_min, y_max = 0.0, 1.0
    #在矩形区域内随机投点x
    x = np.random.uniform(x_min, x_max, n)#均匀分布
    y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
    #统计落在函数y=x^2下方的点
    res = sum(np.where(y < x**2, 1 ,0))
    #计算定积分的近似值
    s[0,j] = res / n
plt.plot(range(1,len(s[0])+1),s[0],'.-') 
plt.grid(ls=":",c='b',)#打开坐标网格
plt.axhline(y=1/3,ls=":",c="red")#添加水平直线
# plt.axvline(x=4,ls="-",c="green")#添加垂直直线
plt.legend(['模拟', '实际1/3'], loc='upper right', scatterpoints=1)
plt.title("估算定积分")
plt.show()

2.3 求解整数规划

要解的方程为：

条件如下：

程序如下：

# 求解整数规划
import random
import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
#解决图标题中文乱码问题
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
#进入正题
time_start=time.time() #计时开始
p0=0
for i in range(10**7):
    x=np.random.randint(0,99,(1,3))
    f=2*x[0,0]+3*x[0,0]**2+3*x[0,1]+x[0,1]**2+x[0,2]
    g=[
        x[0,0]+2*x[0,0]**2+x[0,1]+2*x[0,1]**2+x[0,2],
        x[0,0]+x[0,0]**2+x[0,1]+x[0,1]**2-x[0,2],
        2*x[0,0]+x[0,0]**2+2*x[0,1]+x[0,2],
        x[0,0]+2*x[0,1]**2
    ]
    if g[0]<=100 and g[1]<=500 and g[2]<=400 and g[3]>=10:
        if p0<f:
            x0=x
            p0=f
print('最优解：',x0)
print('最优值：',p0)
time_end=time.time() #计时结束
print('用时：',time_end-time_start)