Python Numpy中向量与矩阵范数计算详解

np.linalg.norm函数概述

np.linalg.norm用于计算范数，其中linalg代表linear（线性）与algebra（代数）的组合，norm即表示范数。

函数参数详解

函数包含以下关键参数：

x_norm=np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

①x：代表输入的矩阵，该输入也可以是一维向量。

②ord：指定所使用的范数类型。

针对向量的范数计算规则如下：

针对矩阵的范数计算规则如下：

当ord=1时，结果为列和的最大值。

当ord=2时，需计算|λE-ATA|=0的特征值，取最大特征值的算术平方根。

当ord=∞时，结果为行和的最大值。

③axis：指定处理维度。

若axis=1，则按行向量处理，计算多个行向量的范数。

若axis=0，则按列向量处理，计算多个列向量的范数。

若axis=None，则直接计算整个矩阵的范数。

④keepdims：控制是否保持矩阵的二维特性。

若keepdims=True，则保持矩阵的二维特性；若为False，则不保持。

向量范数类型

向量范数的具体类型包括：

1-范数：，即向量元素绝对值之和，对应matlab中的norm(x, 1)函数调用。

2-范数：，即Euclid范数（欧几里得范数，常用于计算向量长度），等于向量元素绝对值的平方和再开方，对应matlab中的norm(x, 2)函数调用。

∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最大值，对应matlab中的norm(x, inf)函数调用。

-∞-范数：，即所有向量元素绝对值中的最小值，对应matlab中的norm(x, -inf)函数调用。

p-范数：，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，对应matlab中的norm(x, p)函数调用。

矩阵范数类型

矩阵范数的具体类型包括：

1-范数：，即列和范数，等于所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，对应matlab中的norm(A, 1)函数调用。

2-范数：，即谱范数，等于A'A矩阵的最大特征值的开平方，对应matlab中的norm(x, 2)函数调用。

∞-范数：，即行和范数，等于所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，对应matlab中的norm(A, inf)函数调用。

F-范数：，即Frobenius范数，等于矩阵元素绝对值的平方和再开平方，对应matlab中的norm(A, 'fro')函数调用。

import numpy as np

x1=np.array([1,5,6,3,-1])
x2=np.arange(12).reshape(3,4)
print x1,'\n',x2
print '向量2范数:'
print np.linalg.norm(x1)
print np.linalg.norm(x1,ord=2)
print '默认的矩阵范数:'
print np.linalg.norm(x2)
print '矩阵2范数:'
print np.linalg.norm(x2,ord=2)

默认行为与测试结论

经测试验证：

当np.linalg.norm(X)中的X为向量时，默认计算向量的2范数，即求向量元素绝对值的平方和再开方。

当X为矩阵时，默认计算F范数。矩阵的F范数即矩阵各个元素的平方之和再开平方根，通常也被称为矩阵的L2范数。其优点在于它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算。

以上即为在Python Numpy中求向量和矩阵范数的完整实例分享，希望能提供有效参考，感谢支持。